Att tro och extrapolera duger inte i matematiken eller math is beauty.

Det här med gränsvärden är intressant för man kan få överraskande resultat. Intuitionen säger kanske en sak men resultatet kan bli något helt annat.

T.ex.Vad är värdet för 

då x går mot 0?

Sätter man in 0 i uttrycket får man 0 i nämnaren och då kan det bli vad som helst. Om man däremot sätter in mindre och mindre värden kan man se att det närmar sig 1. Man skulle kunna extrapolera och bestämma sig för att värdet går mot 1 men i matematiken duger inte det. Jag ska visa ett sätt att bestämma gränsvärdet korrekt men först några viktiga förklaringar för vad som komma skall.

Sinus och cosinus är två trigonometriska funktioner som är periodiska och har alla 

värden mellan -1 och 1.

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1.

Radianer: I matematiken används ofta radianer istället för grader eftersom det blir mer praktiskt. Omkretsen för en cirkel är 2𝜋 gånger radien och eftersom radien i enhetscirkeln är 1 blir omkretsen i en sådan 2𝜋. På det viset kan man definiera radianer så t.ex 180° motsvarar 𝜋 radianer, 90° = 𝜋/2 radianer osv.

I den fina bilden här under som jag har lånat från internet har vi en vinkel på x radianer. Eftersom radien är 1 är också längden på bågen x radianer.

Om man kan lite trigonometri så blir det nu enkelt att följa resonemanget. Skulle man ha noll koll på detsamma så får man förlita sig på att det stämmer.

Enligt bilden så är längden på den mindre triangeln kortare än den markerade bågen vilken i sin tur är kortare än höjden på den större triangeln. Det kan man skriva matematiskt

𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛𝑥 

Nu dividerar vi olikheten med sinx

Talet N kan inte vara något av de tidigare primtalen så det måste vara ett nytt primtal vilket motsäger antagandet. Eller så är det ett sammansatt tal uppbyggd av andra primtal än de som använts vilket också motsäger antagandet. Alltså finns det oändligt många primtal. Ett kort och enkelt bevis.

När kommer människan att besöka Mars?

Efter att ryssarna hade varit först med det mesta när det gäller rymdflyg, Sputnik, Gagarin, rymdpromenader osv bestämde sig amerikanarna för att satsa på månfärder. John F Kennedy sa i ett tal 1962: We choose to go to the moon. We choose to go to the moon in this decade and do the other things, not because they are easy, but because they are hard.

Apolloprogrammet startades och det var många livesändningar och reportage om detta på TV. För mig som var barn vid den här tiden, tioårsåldern, var detta otroligt spännande. De skulle testa månlandaren, runda månen och annat innan den riktiga månresan skulle ske.

Jag satt andäktigt vid teven och följde alla sändningar och när själva månlandningen skedde och Niel Armstrong sade sina berömda ord när han satte sin fot på månytan:That's one small step for (a) man, one giant leap for mankind var det nästan som att Jesus hade uppenbarat sig. 

Efter detta skedde flera månlandningar och det allmänna intresset svalnade förutom då Apollo 13 som hade kunnat sluta i en katastrof. Känslan var i alla fall att nu var allt möjligt och att det inte skulle dröja länge förrän planeten Mars skulle besökas.

Rymdforskningen tog en annan vändning och både ryssar och amerikaner satsade på rymdstationer, Spacelab, Mir och nu senaste den internationella rymdstationen ISS. Obemannade rymdresor för att placera ut olika typer av teleskop, bland annat Hubble telescope, landning av satelliter på olika himlakroppar som Saturnus måne Titan och kometen 67P/Churyumov-Gerasimenko.

Hur blir det nu med Mars? Obemannade rymdresor är mycket billigare än bemannade så planeten har kunnat undersökas väldigt mycket. För människor är en resa dit en mycket mer komplicerad historia.

Venus ligger visserligen närmare men atmosfärtrycket, värmen och atmosfären gör det näst intill omöjligt att vistas där. Mars däremot har betydligt bättre livsförhållanden, väldigt kallt och en väldigt tunn atmosfär som till största del består av koldioxid men är det bästa alternativet för att kunna besöka.

Mars befinner sig ca 150 gånger längre bort än månen och det är ändå när planeten befinner sig närmast jorden. Med dagens teknik skulle det ta 6 till 8 månader att resa dit. Med tanke på den långa restiden krävs speciella förberedelser och utrymmen för astronauterna. Man måste ha tillräckligt mycket mat, träningsredskap (man befinner sig hela tiden i tyngdlöst tillstånd så musklerna förtvinas), och andra utrymmen för att man ska kunna stå ut så lång tid.

När man väl kommer till Mars får man sedan vänta i ca ett år på att planeterna är i gynnsamt läge igen för att få en så kort resa som möjligt tillbaka. Dessutom måste man ha bränsle för att ta sig tillbaka. Det här är bara några av svårigheterna som gör att det nog får vänta tills förutsättningarna är bättre. Det finns tankar om att använda t.ex. jonmotorer som idag ibland används till obemannade rymdfärder och då skulle färden ta 39 dagar vilket är mer praktiskt än ett halvår.

Det finns ett projekt som heter Mars One där tanken är att kolonisera planeten. Den första resan ska ske år 2031 och sedan ska flera resor ske. Här är tanken att människor ska bo på Mars och inte ha möjlighet att resa tillbaka. Jag är tveksam till den idén av många orsaker. Bland annat för hur de barn som föds där tvinas leva instängda hela sitt liv och alltid ha rymddräkter på sig när de är ute. Jag är också tveksam till att man bygger en raket på jorden som är tillräckligt stor för att människor ska kunna tillbringa ett halvår i den istället för att bygga den i rymden som de gjorde med ISS.

Att använda fantasin för att förstå verkligheten

Hur hade det varit om ljusets hastighet hade varit 10 km/h?

Mitt intresse för fysik fick jag inte genom skolan utan genom biblioteket. Jag tyckte skolfysiken var tråkigt med sin mekanik, elektricitet och värmelära. Dessutom var laborationerna ofta obegriplipliga eftersom jag är opraktisk och behöver tid för att förstå och lära mig saker.

Däremot var jag tidigt intresserad av astronomi och någon gång under min skoltid besökte jag ett bibliotek för leta efter sådana böcker. Av en händelse såg jag där en bok som heter Mr Tompkins underbara värld skriven av George Gamow.

Gamow var en sovjetisk-ameikansk fysiker och kosmolog som bland annat utarbetade en teori tillsammans med Ralph Alpher om grundämnenas relativa förekomst. Han lade till Hans Bethes namn för att kunna kalla den Alpher-Bethe-Gamow-torin. De första grekiska bokstäverna är alfa, beta, gamma.

Boken om Mr Tompkins handlar om att han, en bankman, blir nyfiken på relativitetsteori och går på en föreläsning om ämnet. Han tycker föreläsningen är tråkig och somnar. När han vaknar befinner han sig i ett okänt hus. Han går ut och upptäcker märkliga saker. Ljusets hastighet är 10 km/h istället för 300 000 km/s.

En cyklist kommer mot Mr Tompkins och ser tillplattad ut. Cyklisten trampar fortare men farten ökar inte så mycket. Däremot plattas cyklisten till ännu mer och ser mer ut som ett fotografi.
Nyfiken på vad det kunde bero på tar han en cykel och trampar på. Han upptäcker då att han själv inte blir tillplatta men däremot blir gatorna kortare och fönstren på husen smalare.

Senare befinner han sig på en tågstation där en man i 40-års åldern stiger av tåget och möts av en gammal kvinna som säger till mannen: Kära morfar...

Gamow skrev flera populärvetenskapliga böcker vara detta är en av dem. Vad han beskriver här är först längdkontraktion och sedan tidsdilation. Dessa effekter inträffar i verkligheten i närheten av ljusets hastighet.

Man kan tänka sig att man ger sig ut på en rymdresa och accelererar upp till nästan ljusets hastighet. Man reser 1000 ljusår in mot Vintergatans centrum och sedan tillbaka till Jorden. De som befinner sig i rymdskeppet upplever en helt annan tid och avstånd än de som är på Jorden. Med tillräckligt hög hastighet kan man göra den resan under en livstid medan ens vänner på Jorden har gått bort för länge sedan.

Om man t.ex. reser med 99.9% av ljushastigheten tar den långa resan 89 år.

Detta har man  testat med flygplan som har använt atomur och kunnat konstatera att det stämmer. Det finns också en typ av partiklar som bildas när partikelstrålning från solen träffar Jordens atmosfär som kallas myoner. På otroligt kort tid, 2,22 mikrosekunder, sönderfaller de och skulle inte kunna upptäckas på jordytan om det inte var för att de upplever en annan tid och ett annat avstånd än vi gör.

Allt detta och lite till får man en inblick i genom att läsa Gamows lilla bok med fina illustrationer. Tack vare ett bibliotek.

Primtal är inte alltid primtal

Man kan säga att den samlade matematiken idag är ett djupt hav där de allra flesta bara har sett ytan. Efter flera års universitetsstudier har jag på sin höjd börjat snorkla. Matte är numera en kul hobby för mig och har på det viset upptäckt att det finns mängder av sådant som jag inte hade en aning om att det existerade.

Komplexa tal får man bestifta bekantskap med redan på naturvetenskapliga programmet på gymnasiet. Det är en spännande del av matematiken som många gånger underlättar uträkningar.

Primtal är heltal som bara är delbara med 1 och sig självt, t.ex. 2, 3, 5 osv. Tal som 4, 6 och 8 kallas för sammansatta eftersom man kan skriva dem som en produkt av andra tal, t.ex. 6 = 2*3. Heltal tillhör något som kallas för reella tal. Det är de tal som vi i vardagslivet har användning för.

Matematiken är underbarare än så för utvidgar vi talområdet till de komplexa talen så händer ett och annat intressant. Till exempel att primtal inte alltid är primtal.

Ett komplext tal skrivs som exempelvis 1 + i, 2 + 3i, 3,25 + 4,5i osv. De tal som vi är vana vid kan också ses som komplexa men då är den delen som innehåller i (imaginärdelen) lika med 0. Det här är ett jätteområde så jag ska inte att förklara hur allt hänger ihop annat än att när de innehåller hela tal så kallas de för gaussiska heltal och att man vid visualisering istället för tallinje använder talplan.

Åter till primtalen. Talet 5 är ett primtal för det kan bara delas med 1 och sig själv. Använder man nu gaussiska heltal så visar det sig att 5 inte längre är ett primtal utan kan skrivas som en produkt av talen 1 + 2i och 1 - 2i: (1 + 2i)(1 -2i) = 1 + 4 = 5. Nu har jag använt mig av en del regler som skulle kunna förklara varför det blir så men jag nöjer mig med huvuddragen för att det ska bli lättare att läsa.

Jag har tidigare konstaterat att 2017 är ett primtal men kan det också delas upp i gaussiska heltal? Det finns en regel som säger att om ett tal minus 1 är jämnt delbart med 4 så kan man det. I fallet med 2017 så är 2017 - 1 = 2016 jämnt delbart med 4 och är på det viset inte längre ett primtal. Det kan delas upp på följande sätt: 2017 = (44 + 9i)(44 -9i). Underförstått så är det ett gångertecken mellan parenteserna.

Här är en fin bild på hur gaussiska primtal fördelar sig. En bild som jag har tagit från Wolfram MathWorld.