14 mars, den internationella pi-dagen.

Om man delar en cirkels omkrets med dess diameter får man talet pi. Det vanligaste närmevärdet för talet är 3,14 och därför har 14/3 utsetts till internationella pi-dagen.

Pi har använts i några tusen år, bland annat av Babylonierna ca 2000 fvt. Under årtusenden har man beräknat ett bättre och bättre på pi. Arkimedes (250 fvt), som med rätta anses som en av de största matematikerna, använde en fiffig metod. Det var en metod som påminner mycket om den matematik som tysken Leibnitz och engelsmannen Newton utvecklade på 1600-talet, integration.

Arkimedes utvecklade en teknik som gick ut på att man stängde in en cirkel mellan två månghörningar, det är lättare att mäta och beräkna figurer som består av räta linjer. Som mest använde han två regelbundna 96-hörningar. Imponerande med tanke på att han inte hade papper, penna och så bra mätinstrument som vi har idag. Hans närmevärde, där 22/7 var undre gränsen stämde till tredje decimalen.

Pi kallas ibland för Arkimedes konstant men också Ludolphs tal. Den tyske matematikern Ludolph von Ceulen som levde på 1500-talet ägnade större delen av sitt liv till att beräkna ett närmevärde som resultatet 35 decimaler.

På olika sätt har man kunnat skriva pi som en oändlig summa av termer. Detta gör att man kan använda datorer till att räkna fram en väldig massa decimaler. Det senaste rekordet är22,5 biljoner decimaler, alltså 22 500 000 000 000 decimaler. Stackars Ludolph som ägnade så mycket tid för bara 35 decimaler.


Pi dyker upp i vissa oväntade samman hang sammanhang som t.ex. de två jag tänker ta upp här.

Baselproblemet

Vad blir summan av det här uttrycket (prickarna betyder att det är oändligt många termer)?

Det här är ett problem som presenterades i mitten av 1600-talet. Det löstes av den schweiziske matematikern Leonhard Euler. Det överraskande svaret var:

Han visade dessutom att flera oändliga summor med jämn exponent blev ett uttryck innehållande pi. Detta skulle sedan leda till Riemannhypotesen.

Eulers identitet

Det finns ett märkligt samband mellan några av matematikens olika områden och det är Eulers identitet.

Här har vi pi som kommer från geometrin och så har vi e som kommer från analysen. e är en konstant som naturligt dyker upp i olika sammanhang t.ex. normalfördelning och olika typer av tillväxt.

i är den komplexa enheten, 1 är enheten vid multiplikation och 0 enheten vid addition.

Det irrationella och transcendenta talet pi

Man har under historien försökt att hitta någon typ av regelbundenhet i talet men misslyckats. Pi är ett irrationell tal vilket betyder att det inte kan skrivas som ett bråk. Kvadratroten ur två är också ett irrationellt tal men kvadrerar man det så blir resultatet 2 så därför är det ett algebraiskt tal till skillnad mot pi som man inte på något vis kan få till ett heltal eller ett bråk och är därför transcendent.

Att talet är irrationellt bevisades 1761 av en herre som hette Johann Heinrich Lambert.