Jag har kommit fram till att man nog till viss del kan förklara den med termer som man har lärt sig i grundskolan. Inom parentes kommer det att dyka upp en del begrepp som kräver mer matematik men jag tror inte att dessa är helt avgörande för förståelsen.
Vi börjar med en cirkel. En sådan är väl alla bekanta med. Även att omkretsen av en cirkel kan beräknas genom att multiplicera diametern med pi eller 2 gånger radien gånger pi.
Alltså har vi att omkretsen är lika med 2 gånger pi gånger radien. 2 och pi är fixa tal men radien kan vara vad som helst. Enklast blir det om radien är lika med 1. Då blir omkretsen 2 gånger pi. Halva omkretsen är då pi och därför dyker det talet upp i Euler´s identitet.
Nästa steg är det här med vinklar. Ett varv runt en cirkel är 360° så ett halv varv är då 180°.
Istället för grader mäter man ofta vinklar i radianer. Ett helt varv är 2*pi radianer och ett halvt varv pi radianer, så 180° motsvarar pi radianer.
Nu börjar nog den svåra delen, hur kommer e och i in i bilden?
Om jag börjar med e så finns det olika sätt att beskriva en cirkel och att använda e (som är ett tal 2,71828...) tillsammans med i (som också är ett tal) är ett sätt.
Den sista lilla knepiga biten som kommer att knyta ihop det hela är det komplexa talplanet. Talet i får man om man tar kvadratroten ur -1.
Ritar man upp en tallinje kan man pricka in alla tal som tänkas kan utom i. Därför måste man ta till ett talplan där tal som innehåller i finns med. Talet i bildar tillsamman med de vanliga talen något som kallas komplexa tal. Dessa hittar man i det komplexa talplanet.
De komplexa talen är inget konstigt, de används bland annat till att räkna på växelström. Ljusvågor beskrivs med hjälp av i.
Om man startar vid 1 i talplanet och går 180° eller pi radianer så hamnar vi vi på -1.
En kort sammanfattning: Om man har en cirkel med radien 1 och går ett halvt varv runt så hamnar man på -1. Det är vad Euler´s identitet handlar om.
Bra förklarat, tack!
SvaraRadera