Att tro och extrapolera duger inte i matematiken eller math is beauty.

Det här med gränsvärden är intressant för man kan få överraskande resultat. Intuitionen säger kanske en sak men resultatet kan bli något helt annat.

T.ex.Vad är värdet för 

då x går mot 0?

Sätter man in 0 i uttrycket får man 0 i nämnaren och då kan det bli vad som helst. Om man däremot sätter in mindre och mindre värden kan man se att det närmar sig 1. Man skulle kunna extrapolera och bestämma sig för att värdet går mot 1 men i matematiken duger inte det. Jag ska visa ett sätt att bestämma gränsvärdet korrekt men först några viktiga förklaringar för vad som komma skall.

Sinus och cosinus är två trigonometriska funktioner som är periodiska och har alla 

värden mellan -1 och 1.

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1.

Radianer: I matematiken används ofta radianer istället för grader eftersom det blir mer praktiskt. Omkretsen för en cirkel är 2𝜋 gånger radien och eftersom radien i enhetscirkeln är 1 blir omkretsen i en sådan 2𝜋. På det viset kan man definiera radianer så t.ex 180° motsvarar 𝜋 radianer, 90° = 𝜋/2 radianer osv.

I den fina bilden här under som jag har lånat från internet har vi en vinkel på x radianer. Eftersom radien är 1 är också längden på bågen x radianer.

Om man kan lite trigonometri så blir det nu enkelt att följa resonemanget. Skulle man ha noll koll på detsamma så får man förlita sig på att det stämmer.

Enligt bilden så är längden på den mindre triangeln kortare än den markerade bågen vilken i sin tur är kortare än höjden på den större triangeln. Det kan man skriva matematiskt

𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛𝑥 

Nu dividerar vi olikheten med sinx

Talet N kan inte vara något av de tidigare primtalen så det måste vara ett nytt primtal vilket motsäger antagandet. Eller så är det ett sammansatt tal uppbyggd av andra primtal än de som använts vilket också motsäger antagandet. Alltså finns det oändligt många primtal. Ett kort och enkelt bevis.