14 mars, den internationella pi-dagen.

Om man delar en cirkels omkrets med dess diameter får man talet pi. Det vanligaste närmevärdet för talet är 3,14 och därför har 14/3 utsetts till internationella pi-dagen.

Pi har använts i några tusen år, bland annat av Babylonierna ca 2000 fvt. Under årtusenden har man beräknat ett bättre och bättre på pi. Arkimedes (250 fvt), som med rätta anses som en av de största matematikerna, använde en fiffig metod. Det var en metod som påminner mycket om den matematik som tysken Leibnitz och engelsmannen Newton utvecklade på 1600-talet, integration.

Arkimedes utvecklade en teknik som gick ut på att man stängde in en cirkel mellan två månghörningar, det är lättare att mäta och beräkna figurer som består av räta linjer. Som mest använde han två regelbundna 96-hörningar. Imponerande med tanke på att han inte hade papper, penna och så bra mätinstrument som vi har idag. Hans närmevärde, där 22/7 var undre gränsen stämde till tredje decimalen.

Pi kallas ibland för Arkimedes konstant men också Ludolphs tal. Den tyske matematikern Ludolph von Ceulen som levde på 1500-talet ägnade större delen av sitt liv till att beräkna ett närmevärde som resultatet 35 decimaler.

På olika sätt har man kunnat skriva pi som en oändlig summa av termer. Detta gör att man kan använda datorer till att räkna fram en väldig massa decimaler. Det senaste rekordet är22,5 biljoner decimaler, alltså 22 500 000 000 000 decimaler. Stackars Ludolph som ägnade så mycket tid för bara 35 decimaler.


Pi dyker upp i vissa oväntade samman hang sammanhang som t.ex. de två jag tänker ta upp här.

Baselproblemet

Vad blir summan av det här uttrycket (prickarna betyder att det är oändligt många termer)?

Det här är ett problem som presenterades i mitten av 1600-talet. Det löstes av den schweiziske matematikern Leonhard Euler. Det överraskande svaret var:

Han visade dessutom att flera oändliga summor med jämn exponent blev ett uttryck innehållande pi. Detta skulle sedan leda till Riemannhypotesen.

Eulers identitet

Det finns ett märkligt samband mellan några av matematikens olika områden och det är Eulers identitet.

Här har vi pi som kommer från geometrin och så har vi e som kommer från analysen. e är en konstant som naturligt dyker upp i olika sammanhang t.ex. normalfördelning och olika typer av tillväxt.

i är den komplexa enheten, 1 är enheten vid multiplikation och 0 enheten vid addition.

Det irrationella och transcendenta talet pi

Man har under historien försökt att hitta någon typ av regelbundenhet i talet men misslyckats. Pi är ett irrationell tal vilket betyder att det inte kan skrivas som ett bråk. Kvadratroten ur två är också ett irrationellt tal men kvadrerar man det så blir resultatet 2 så därför är det ett algebraiskt tal till skillnad mot pi som man inte på något vis kan få till ett heltal eller ett bråk och är därför transcendent.

Att talet är irrationellt bevisades 1761 av en herre som hette Johann Heinrich Lambert.

Mary, Ada och al-Khwarizmi

Frankenstein eller en modern Prometheus är en klassiker som är filmad många gånger. Mary Shelley skrev boken inspirerad av den tidens vetenskapliga framsteg. 2017 kom det en film om henne som är mycket sevärd. Hon föddes i London 1797. Hennes föräldrar var förhållandevis nytänkande, modern var feminist och fadern såg till att Mary fick en bra utbildning. Hon träffade så småningom med Percy Shelley, en poet som bland annat bekämpade kristendomens intolerans och förtryck.

De träffade poeten Lord Byron. Paret Shelley tillbringade några dager en sommar vid Geneve tillsammans med Byron, hennes styvsyster och författaren John Polidori. Lord Byron kom där på idén att de skulle tävla om att skriva den bästa skräckhistorien. När Mary var klar med Frankenstein och de andra fick läsa den häpnade de över historien.

När hon sedan ville få den utgiven var det inget förlag som gick med på att ha hennes namn som författare så till en början var det hennes man som stod som författare till berättelsen.

Lord Byron  gifte sig så småningom med Anna Isabella Milbanke. Det äktenskapet blev inte så långvarigt men de fick i alla fall en dotter, Ada. Anna avskydde poesi och det levnadssätt som  Byron förde och för att inte Ada skulle bli som sin pappa uppmuntrade hon Ada att studera matematik och logik.

Ada Lovelace som hon senare kom att heta jobbade tillsammans med Charles Babbage som försökte bygga en mekanisk dator, eller räknemaskin. Bland Adas anteckningar från det arbetet finns en algoritm för att beräkna speciella tal. Hon var framsynt och räknade med att en sådan maskin skulle kunna användas till mycket annat, bland annat skapa musik.

Dagens datorer styrs av algoritmer. T.ex. är beskrivningen av hur man genomför en division en algoritm.

Ordet algoritm är en latiniserad form av namnet al-Khwarizmi. Det var en persisk matematiker och astronom som levde på 800-talet. Han gav ut flera böcker och en av titlarna innehöll ordet al jabr, det ord som senare blev algebra.

al-Khwarizmi och andra muslimska matematiker inspirerade den italienska matematikern Fibonacci som på sent 1100 och tidigt 1200-tal reste runt i Medelhavet och kom där i kontakt med bland annat arabiska siffror och decimalsystemet. Han försökte lansera det i den kristna Europa men misstänksamheten mot detta sätt att räkna var alldeles för stort.

Gravitationen - denna ständigt närvarande men förbryllande kraft.

Gravitationen (tyngdkraften) är ständigt närvarande. Den gör så att vi stannar kvar på Jorden och inte svävar iväg och den gör så att vi år efter år befinner oss i samma bana runt Solen. Vad är då gravitation?

Den som först beskrev gravitationen var Isaac Newton, 1643 - 1727. Han gav oss en förklaring och beskrev fenomenet matematiskt. Nu visade det sig att den lagen inte alltid stämde, t.ex. när det gäller planeten Merkurius beteende.

Här är G gravitationskonstanten, m1 och m2 massorna hos de två kropparna som attraherar varandra och r är avståndet mellan dem. Det är en fin matematisk beskrivning och det fungerar bra att beräkna det mesta som har med gravitation att göra, t.ex. planetbanor och massor hos stjärnor och andra astronomiska kroppar. Däremot förklarar det inte vad gravitation är.

Cirka 250 år senare, under första hälften av 1900-talet, kom vi närmare en förklaring, eller rättare sagt två förklaringar av vilka bara den ena ser ut att överleva. 

Albert Einstein publicerade 1915 den allmänna relativitetsteorin och där förklarade han hur rumtidskrökningen orsakade gravitationen. Ju större massa ju mer böjde sig rumtiden och en massa i närheten följde den krökningen.

Det finns fyra fundamentala krafter i naturen: elektromagnetiska, svag växelverkan, starka kärnkraften och gravitationen. När man så småningom upptäckte att speciella partiklar bidrog till tre av de här krafterna så antog man att även gravitationen orsakades av en partikel, gravitonen. 

Elektromagnetisk kraft - fotonen

Svag växelverkan - w+, w-, Z0

Stark kärnkraft - gluoner

Gravitation - gravitoner?

Garvitonen har man ännu inte upptäckt och inget tyder på att den existerar. Däremot dök det upp en annan partikel som delvis är ansvarig för att saker och ting har en massa, Higgsbosonen. Den orsakar massa hos elementarpartiklarna men för till exempel en proton som är består av två uppkvarkar, en nerkvark och gluoner orsakar Higgspartikeln bara en del av massan, resten är energi. 

Slutligen tycker jag att beskrivningen av gravitationen med rumtidskrökning är bra. Det förklarar till exempel svarta hål och ljusets avböjning runt en stor massa. Som det hörs i begreppet rumtidskrökning så böjs tiden och saktar ner i närheten av en stor massa.

I filmen Interstellar fastnar några astronauter på en planet som går i en bana runt ett svart hål. Det gör att varje timme där motsvarar 7 år på Jorden. Ett kul exempel är att ifall man såg visarna på en klocka som sögs in i ett svart hål skulle man se hur visarna saktade av och till slut stannade. 

Vägen till maraton och vidare.

En röd tråd i mitt liv tycks ha varit att jag entusiastiskt startar projekt men rätt snart tröttnar och ger upp. Så var det när jag var barn och det har fortsatt i vuxen ålder. Ett av de projekten är att träna. En gång satte jag igång med styrketräning men det varade inte så länge utan ersattes av nästa kortvariga projekt som var yoga.

Konditionsträning i form av löpning har varit återkommande kortvariga projekt. Det har börjat med att jag har kört hårt från början och den taktiken har gjort att jag har gett upp. En orsak är också att jag alltid har satsat på sådant här själv. Det har så småningom visat sig vara dödfött.

En vändpunkt infann sig för ca 10 år sedan då en kollega på mitt jobb kom och frågade om jag skulle vara med och springa Lundaloppet. Erfarenheter av tidigare misslyckande och det faktum att min kondition var riktigt urusel sa jag nej. Han gav inte upp utan sa att det hade varit kul om jag var med vilket gjorde att jag ändå bestämde mig för att delta.

Lundaloppet består bland annat av ett femkilometers och ett tiokilometerslopp så jag bestämde mig för det kortare. Jag satte igång och träna med ett mål framför ögonen och då fungerade det. Jag var med på loppet och tyckte det var kul så jag bestämde mig för att fortsätta träna och springa fler lopp.

Träningen gjorde att jag mådde bättre men ett problem dök upp och det var vintrarna. När det är kallt och snö är det inte så roligt att ge sig ut i motionsspåren och dessutom blir det halt och besvärligt vilket orsakade en flera månaders paus från träningen. Detta gjorde att jag fick börja om varje vår och det kändes väldigt tungt.

Jag brukar titta på Vasaloppet, Stockholm Maraton och andra folkfester på TV och känt att det hade varit kul att vara med på något sådant. Några av mina kolleger bestämde sig för ett par år sedan att åka Vasaloppet och de andra tävlingarna i en svensk klassiker. Det inspirerade mig och jag önskade att kunna var med om något liknande.

Tidigt sommaren 2017 sa en kollega till mig att vi borde springa Berlin Marathon. Jag tyckte det var en galen idé men han sa att det ska vara ett av de lättaste maratonloppen så jag sa: Ja, det skulle vi kunna göra. Han anmälde oss och några till men man hade inte en garanterad plats utan det skedde lottning. Under hela hösten tränade jag flitigt men hoppades ändå att vi inte skulle få någon plats. Beskedet kom och vi fick alla delta i loppet.

Det blev en rätt mild vinter så jag kunde träna hela tiden men ett annat problem dök upp och det var en knöl i ljumsken. När jag sedan sprang längre sträckor fick jag ont där vilket gjorde att tvivlet ökade att jag skulle kunna genomföra maratonloppet. Jag hade i alla fall tre mål och det var: 1. Att komma till start, 2. Att genomföra loppet, 3. Att klara mig under sex timmar.

Att sedan stå på startområdet tillsammans med tusentals andra glada människor var en häftig upplevelse. Efter ungefär halva loppet fick jag problem med ljumskbråcket och stela ben så jag fick springa lite styltigt och ibland gå, Hur som helst var det en kul upplevelse så jag bestämde mig för att göra om det.

Jag anmälde mig till nästa års Berlin Marathon men tyvärr blir det bara jag den här gången. De övriga som var med senast har andra planer. Jag har fått mitt ljumskbråck opererat och är bättre tränad den här vintern än förra. Jag vet bättre nu vad om behöver tränas inför ett långlopp. Det är konditionen, snabbheten och uthålligheten. Dessutom lite styrketräning. Jag ser fram emot Berlin Marathon 2018. Förhoppningsvis en tid runt fem timmar.

Ett stort tack till Anders E och Jan E som fick mig att komma igång.

Snart Berlin marathon

Om knappt en vecka är det dags att springa Berlin marathon. Jag har verkligen tränat hårt inför den upplevelsen. Att jag skulle komma så här långt och orka så mycket som jag gör nu kändes som en utopi för ett år sedan. Det hade kanske behövts någon vecka till med träning men jag är ändå nöjd med det jag har åstadkommit.

Idag sprang jag fem kilometer och det var som en söndagspromenad, lite uppfriskande. Det är en sträcka som tidigare var kämpig. Jag har sprungit betydligt längre än så men så här veckan innan marathon ska jag ta det lugnt.

Som längst har jag sprungit 24 km. Det är visserligen långt ifrån 42 men under betydligt bättre förutsättningar klarar jag 30 och förhoppningsvis hela maran. Det tog två timmar och 45 minuter. Dessutom har jag sprungit 22, 21 och 20 km. Halvmaran, dvs 21 km, tog två timmar och 21 minuter.

Det börjar bli nervöst nu men det ska bli väldigt kul. Det kan hända att jag får bryta loppet på grund av att jag inte orkar men det spelar ingen roll. Jag har i alla fall kört hela vägen och gör ett försök. Det är det viktigaste.

Hur loppet än går på söndag så har det betytt mycket att ha det som mål. Jag är i bättre fysisk form än någonsin. De träningsrundor, 5-7-10 km, som tidigare var plågsamma är numera uppfriskande och roliga löprundor.

Att tro och extrapolera duger inte i matematiken eller math is beauty.

Det här med gränsvärden är intressant för man kan få överraskande resultat. Intuitionen säger kanske en sak men resultatet kan bli något helt annat.

T.ex.Vad är värdet för 

då x går mot 0?

Sätter man in 0 i uttrycket får man 0 i nämnaren och då kan det bli vad som helst. Om man däremot sätter in mindre och mindre värden kan man se att det närmar sig 1. Man skulle kunna extrapolera och bestämma sig för att värdet går mot 1 men i matematiken duger inte det. Jag ska visa ett sätt att bestämma gränsvärdet korrekt men först några viktiga förklaringar för vad som komma skall.

Sinus och cosinus är två trigonometriska funktioner som är periodiska och har alla 

värden mellan -1 och 1.

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1.

Radianer: I matematiken används ofta radianer istället för grader eftersom det blir mer praktiskt. Omkretsen för en cirkel är 2𝜋 gånger radien och eftersom radien i enhetscirkeln är 1 blir omkretsen i en sådan 2𝜋. På det viset kan man definiera radianer så t.ex 180° motsvarar 𝜋 radianer, 90° = 𝜋/2 radianer osv.

I den fina bilden här under som jag har lånat från internet har vi en vinkel på x radianer. Eftersom radien är 1 är också längden på bågen x radianer.

Om man kan lite trigonometri så blir det nu enkelt att följa resonemanget. Skulle man ha noll koll på detsamma så får man förlita sig på att det stämmer.

Enligt bilden så är längden på den mindre triangeln kortare än den markerade bågen vilken i sin tur är kortare än höjden på den större triangeln. Det kan man skriva matematiskt

𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛𝑥 

Nu dividerar vi olikheten med sinx

Talet N kan inte vara något av de tidigare primtalen så det måste vara ett nytt primtal vilket motsäger antagandet. Eller så är det ett sammansatt tal uppbyggd av andra primtal än de som använts vilket också motsäger antagandet. Alltså finns det oändligt många primtal. Ett kort och enkelt bevis.